MAKALAH
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
DAN
DISTRIBUSI NORMAL
Disusun oleh :
Choiril Muthohar
NIM : 5021002008
Jurusan :Teknik Informatika
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI
Pendahuluan
Puji syukur atas kehadirat Allah SWT karena rahmat serta karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah ini.Shalawat serta salam dari Allah SWT semoga selalu tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, para sahabat dan para penerusnya diiringi harapan kita senantiasa mendapatkan syafaat dari beliau mulai saat ini sampai hari kiamat nanti. Dan semoga kita semua tetap berada dalam lindungan Allah SWT. Amin.
Pada kesempatan ini penulis akan menguraikan sedikit tentang Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal. Sebelum kita membahas hal tersebut, perlu kiranya kita mengetahui apa itu Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal.
Distribusi Probabilitas Diskrit adalah sebuah daftar yang berisi seluruh hasil dari eksperimen dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasi tersebut. Sedangkan Distribusi Normal digunakan untuk mempelajari Distrbusi probabilitas kontinu, (variabel acak kontinu diperoleh dengan cara mengukur sesuatu, seperti : tinggi badan, berat badan, dll. ).Kemudian penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada dosen Statistika Dasar,yang telah banyak membimbing dan memberikan pelajaran kepada penulis.Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada teman-teman di Sekolah Tinggi Teknologi yang tidak henti-hentinya memberikan bimbingan kepada penulis dalam pembuatan makalah ini.Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tidaklah sempurna. Namun besar harapan penulis agar makalah ini dapat dijadikan sumber referensi bagi pembaca serta dimanfaatkan untuk memperluas ilmu pengetahuan khususnya tentang Statistika Dasar.
Nganjuk,28 Mei 2011
Penulis
Daftar isi
Pendahuluan 2
Daftar isi 3
Distribusi Probabilitas Diskrit 4
Definisi Umum 4
Variabel acak 6
Rata-Rata Distribusi Probabilitas 7
Distribusi Probabilitas Binomial 9
Distribusi Probabilitas Hipergeometris 9
Distribusi Probabilitas Poisson 9
DISTRIBUSI NORMAL 10
Definisi Umum 10
Karakteristik kurva distribusi normal 10
Distribusi probabilitas normal standar 11
Daerah dibawah kurva normal standar 11
PENUTUP 14
A. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
1. Definisi Umum
Distribusi probabilitas : Sebuah daftar berisi seluruh hasil dari suatu ekperimen dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasil tersebut.
Contoh :
Misal kita tertarik terhadap munculnya “kepala” pada pelemparan koin sebanyak 3 kali. Hasil yang mungkin adalah : nol “kepala”, satu “kepala”, dua dan tiga “kepala”. Bagaimana distribusi probabilitas untuk munculnya “kepala “ ?
Jawab :
Terdapat 8 hasil yang mungkin :
Dua karakter penting distribusi probabilitas.
1. Probabilitas dari suatu hasil harus berada antara 0 dan 1
2. Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus sama dengan 1
Soal Pemahaman :
Hasil yang mungkin dari eksperimen pelemparan dadu, adalah : 1 titik, 2 titik, 3 titik, 4 titik, 5 titik dan 6 titik.
a. Buat distribusi probabilitas untuk hasil tersebut.
b. Gambarkan distribusi probabilitas dalam grafik.
c. Berapa jumlah probabilitasnya ?
a)Variabel Acak
Definisi : Variabel yang digunakan untuk memberikan nilai – nilai yang berbeda untuk setiap hasil dari suatu eksperimen.
Contoh :
- Bila kita menghitung jumlah orang yang absen pada hari senin, jumlahnya bisa 1,2,3,4,…jumlah absen ini variabel acak.
- Bila kita melemparkan 2 koin dan menghitung jumlah “kepala” dapat muncul nol, satu, dua “kepala”. Jumlah “kepala” yang muncul adalah variabel acak.
- Variabel acak yang lain : jumlah lampu yang cacat yang diproduksi dalam seminggu, tinggi pemain basket.
1. Variabel acak diskrit : variabel acak yang nilai-nilainya dihasilkan dari proses berhitung. Contoh : skor yang diberikan pada pertandingan senam lantai , seperti : 9,2 ; 7,5 ; 8,0 ; dst.
2. Variabel acak kontinu : Variabel acak yang nilai-nilainya dihasilkan dari proses pengukuran.
Contoh : Berat balok besi produksi pabrik dalam sehari, seperti : 2,5 kg ; 2,52 kg ; 2,499 kg, dst.
Variabel acak : 1. Diskrit : Jumlah absen dalam sehari, jumlah muncul “kepala”, dan seterusnya.
2. Kontinu : Tinggi pemain basket, berat badan pegulat,dan seterusnya.
b) Rata-Rata Distribusi Probabilitas
Rata-rata disebut juga nilai Ekspektasi ( ∑ ) (x) .
Rata-rata merupakan nilai khas yang digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas
Rata-rata distribusi probabilitas :
μ=E(x)=∑[x.P(x)]
P (x) = Probabilitas variabel acak
X = variabel acak
VARIASI STANDAR DAN DEVIASI
Variansi menggambarkan penyebaran dalam suatu distribusi.
Variansi distribusi probabilitas : σ^(2 )= ∑[(x-μ) ^(2 ) P (x)]
Standar Deviasi:SD= √(σ^2 )
2. Distribusi Probabilitas Binomial
Karakteristik distribusi binomial :
a. Hasil dari eksperimen hanya diklasifikasikan menjadi dua, yaitu : Sukses atau Gagal.
b. Variabel acaknya diperoleh dengan cara menghitung jumlah sukses dari suatu percobaan.
c. Probabilitas sukses akan selalu tetap selama percobaan.
d. Setiap percobaan independen, artinya hasil percobaan satu tidak mempengaruhi hasil per cobaan berikutnya
Untuk membentuk distribusi binomial, kita harus mengetahui :
a. Jumlah percobaan ( trial ).
b. Probabilitas sukses untuk setiap percobaan.
Distribusi Probabilitas Binomial : P(x)= n!/x!(n-x)! π^x.〖(1-π)〗^(n-x)
n = jumlah trial / percobaan
x = Jumlah sukses
π = probabilitas sukses untuk setiap percobaan
Beberapa catatan penting mengenai distribusiBinomial :
1. Bila n tetap, tetapi π meningkat dari 0,05 ke 0,95, bentuk distribusi akan berubah. Pada π 5,0 < , grafik miring ke kiri (positive skew), pada π 5,0 = grafik simetris, pada 5,0 > π grafik miring ke kanan (negative skew).
2. Bila π tetap, namun n meningkat, maka bentuk distribusi binomial semakin simetris.
3. Mean (μ) untuk distribusi binomial: μ = n . π
Variansi 〖(σ〗^2) untuk distribusi binomial :σ^(2 )=n .π (1-π)
3. Distribusi Probabilitas Hipergeometris
Syarat digunakannya distribusi hipergeometris :
a. Sampel diambil dari suatu populasi terbatas tanpa pengembalian
b. Jumlah sampel n lebih besar dari 5% dari jumlah seluruh populasi N Populasi terbatas (finite population) : suatu populasi yang terdiri dari sejumlah kecil individu, objek, atau pengukuran.
Distribusi Hipergeometri :P(x)= ((sCx)(n-sCn-x))/ΝCn
N = jumlah seluruh populasi
S = jumlah sukses dalam populasi
x = jumlah sukses yang diinginkan ( 0,1,2,3,……)
n = jumlah sampel atau jumlah percobaan / trial
C = Simbol untuk kombinasi
4. Distribusi Probabilitas Poisson
Distribusi ini sering disebut “Hukum kejadian yang tidak mungkin”, maksudnya distribusi ini dipakai pada kejadian dengan probabilitas π yang sangat kecil ( ≤ 0,05 ).
Distribusi ini memiliki banyak aplikasi diantaranya : menentukan distribusi kesalahan pada input data, cacat yang terjadi pada proses pengecatan sparepart mobil, jumlah kecelakaan yang terjadi pada Boeing 737 selama 3 bulan terakhir.
DistrbusiPoisson:
P(x)=(u^x.e^(-n))/x!
μ = rata-rata aritmatik dari sukses pada suatu interval waktu
e = konstanta (2,71828)
x = jumlah sukses
P(x) = probabilitas dari suatu x
B. DISTRIBUSI NORMAL
Definisi Umum
Untuk mempelajari distribusi probabilitas kontinu, kita menggunakan "distribusi probabilitas Normal". Variabel acak kontinu diperoleh dengan cara mengukur sesuatu, seperti : berat badan, tinggi badan, usia pakai baterai dll.
a)Karakteristik Kurva Dstribusi Normal
1. Kurva normal berbentuk lonceng, memiliki puncak pada tengah distribusi. Rata-rata aritmatik, median, dan mode dari distribusi bernilai sama dan terletak pada puncak.
2. Distribusi probabilitas normal simetris terhadap rata-ratanya.
3. Kurva normal menurun secara perlahan kedua sisinya, namun kurva tidak akan pernah menyentuh sumbu x .
Standar deviasi (σ )menentukan kelandaian kurva : Semakin besar σ , maka kurva akan landai & melebar. Semakin kecil σ , maka kurva akan lancip & menyempit.
b) Distribusi Probabilitas Normal Standar
Untuk menyeragamkan sekian banyak distribusi normal dengan μ dan σ yang berbeda, kita dapat menggunakan Kurva Normal Standar.
Kurva standar ini memiliki μ = 0 dan σ = 1. Kurva normal seluruhnya dapat dikonversi ke kurva standar, dengan cara x menghitung “z value“(nilai z ). “z value“ ialah jarak antara suatu nilai terhadap rata-rata μ , dibagi dengan standar deviasi σ .
Rumus :(x- μ)/σ
x = nilai observasi tertentu
μ = rata-rata distribusi
σ = standar deviasi
c) Daerah di Bawah Kurva Normal Standar
Terdapat 3 daerah di bawah kurva normal :
1. 68% bagian bawah kurva normal terletak antara σ − σ + dan atau daerah 1 μ σ ±
2. 95% bagian bawah kurva normal terletak antara 2σ − 2σ + dan atau daerah 2 μ σ±
3. 99% bagian bawah kurva normal terletak antara 3σ − 3σ + dan , atau daerah 3 μ σ ±
Contoh :
1. Suatu tes daya tahan terhadap sejumlah besar baterai alkaline menunjukan bahwa rata-rata daya tahan baterai adalah 19,0 jam. Distribusi menggunakan distribusi normal, standar deviasi dari distribusi tersebut adalah 1,2 jam.
a. Diantara nilai manakah bila 68% baterai habis ?
b. Diantara nilai manakah bila 95% balerai habis ?
c. Diantara nilai manakah bila 100% baterai habis ?
Jawaban :
a. 68% baterai habis bila baterai dipakai pada 1 μ σ ± , yaitu : 19,0 ± 1,2 = 17,8 jam 20,2 jam.
b. 95% baterai akan habis bila baterai dipakai pada 2 μ σ ± yaitu ; 19,0 ± 2(1,2) = 16,6 – 21,4 jam.
c. 100% baterai akan habis bila baterai dipakai pada yaitu : 19,0 ± 3(1,2) = 15,4 – 22,6 jam. 3 μ σ ±
PENUTUP
Demikianlah sedikit uraian tentang “Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal”.Semoga makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi saya sendiri dan umumnya bagi pembaca semuanya.Amin ya robbal ‘alamin.
Sekian,terima kasih.
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
DAN
DISTRIBUSI NORMAL
Disusun oleh :
Choiril Muthohar
NIM : 5021002008
Jurusan :Teknik Informatika
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI
Pendahuluan
Puji syukur atas kehadirat Allah SWT karena rahmat serta karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah ini.Shalawat serta salam dari Allah SWT semoga selalu tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, para sahabat dan para penerusnya diiringi harapan kita senantiasa mendapatkan syafaat dari beliau mulai saat ini sampai hari kiamat nanti. Dan semoga kita semua tetap berada dalam lindungan Allah SWT. Amin.
Pada kesempatan ini penulis akan menguraikan sedikit tentang Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal. Sebelum kita membahas hal tersebut, perlu kiranya kita mengetahui apa itu Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal.
Distribusi Probabilitas Diskrit adalah sebuah daftar yang berisi seluruh hasil dari eksperimen dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasi tersebut. Sedangkan Distribusi Normal digunakan untuk mempelajari Distrbusi probabilitas kontinu, (variabel acak kontinu diperoleh dengan cara mengukur sesuatu, seperti : tinggi badan, berat badan, dll. ).Kemudian penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada dosen Statistika Dasar,yang telah banyak membimbing dan memberikan pelajaran kepada penulis.Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada teman-teman di Sekolah Tinggi Teknologi yang tidak henti-hentinya memberikan bimbingan kepada penulis dalam pembuatan makalah ini.Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tidaklah sempurna. Namun besar harapan penulis agar makalah ini dapat dijadikan sumber referensi bagi pembaca serta dimanfaatkan untuk memperluas ilmu pengetahuan khususnya tentang Statistika Dasar.
Nganjuk,28 Mei 2011
Penulis
Daftar isi
Pendahuluan 2
Daftar isi 3
Distribusi Probabilitas Diskrit 4
Definisi Umum 4
Variabel acak 6
Rata-Rata Distribusi Probabilitas 7
Distribusi Probabilitas Binomial 9
Distribusi Probabilitas Hipergeometris 9
Distribusi Probabilitas Poisson 9
DISTRIBUSI NORMAL 10
Definisi Umum 10
Karakteristik kurva distribusi normal 10
Distribusi probabilitas normal standar 11
Daerah dibawah kurva normal standar 11
PENUTUP 14
A. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
1. Definisi Umum
Distribusi probabilitas : Sebuah daftar berisi seluruh hasil dari suatu ekperimen dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasil tersebut.
Contoh :
Misal kita tertarik terhadap munculnya “kepala” pada pelemparan koin sebanyak 3 kali. Hasil yang mungkin adalah : nol “kepala”, satu “kepala”, dua dan tiga “kepala”. Bagaimana distribusi probabilitas untuk munculnya “kepala “ ?
Jawab :
Terdapat 8 hasil yang mungkin :
Dua karakter penting distribusi probabilitas.
1. Probabilitas dari suatu hasil harus berada antara 0 dan 1
2. Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus sama dengan 1
Soal Pemahaman :
Hasil yang mungkin dari eksperimen pelemparan dadu, adalah : 1 titik, 2 titik, 3 titik, 4 titik, 5 titik dan 6 titik.
a. Buat distribusi probabilitas untuk hasil tersebut.
b. Gambarkan distribusi probabilitas dalam grafik.
c. Berapa jumlah probabilitasnya ?
a)Variabel Acak
Definisi : Variabel yang digunakan untuk memberikan nilai – nilai yang berbeda untuk setiap hasil dari suatu eksperimen.
Contoh :
- Bila kita menghitung jumlah orang yang absen pada hari senin, jumlahnya bisa 1,2,3,4,…jumlah absen ini variabel acak.
- Bila kita melemparkan 2 koin dan menghitung jumlah “kepala” dapat muncul nol, satu, dua “kepala”. Jumlah “kepala” yang muncul adalah variabel acak.
- Variabel acak yang lain : jumlah lampu yang cacat yang diproduksi dalam seminggu, tinggi pemain basket.
1. Variabel acak diskrit : variabel acak yang nilai-nilainya dihasilkan dari proses berhitung. Contoh : skor yang diberikan pada pertandingan senam lantai , seperti : 9,2 ; 7,5 ; 8,0 ; dst.
2. Variabel acak kontinu : Variabel acak yang nilai-nilainya dihasilkan dari proses pengukuran.
Contoh : Berat balok besi produksi pabrik dalam sehari, seperti : 2,5 kg ; 2,52 kg ; 2,499 kg, dst.
Variabel acak : 1. Diskrit : Jumlah absen dalam sehari, jumlah muncul “kepala”, dan seterusnya.
2. Kontinu : Tinggi pemain basket, berat badan pegulat,dan seterusnya.
b) Rata-Rata Distribusi Probabilitas
Rata-rata disebut juga nilai Ekspektasi ( ∑ ) (x) .
Rata-rata merupakan nilai khas yang digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas
Rata-rata distribusi probabilitas :
μ=E(x)=∑[x.P(x)]
P (x) = Probabilitas variabel acak
X = variabel acak
VARIASI STANDAR DAN DEVIASI
Variansi menggambarkan penyebaran dalam suatu distribusi.
Variansi distribusi probabilitas : σ^(2 )= ∑[(x-μ) ^(2 ) P (x)]
Standar Deviasi:SD= √(σ^2 )
2. Distribusi Probabilitas Binomial
Karakteristik distribusi binomial :
a. Hasil dari eksperimen hanya diklasifikasikan menjadi dua, yaitu : Sukses atau Gagal.
b. Variabel acaknya diperoleh dengan cara menghitung jumlah sukses dari suatu percobaan.
c. Probabilitas sukses akan selalu tetap selama percobaan.
d. Setiap percobaan independen, artinya hasil percobaan satu tidak mempengaruhi hasil per cobaan berikutnya
Untuk membentuk distribusi binomial, kita harus mengetahui :
a. Jumlah percobaan ( trial ).
b. Probabilitas sukses untuk setiap percobaan.
Distribusi Probabilitas Binomial : P(x)= n!/x!(n-x)! π^x.〖(1-π)〗^(n-x)
n = jumlah trial / percobaan
x = Jumlah sukses
π = probabilitas sukses untuk setiap percobaan
Beberapa catatan penting mengenai distribusiBinomial :
1. Bila n tetap, tetapi π meningkat dari 0,05 ke 0,95, bentuk distribusi akan berubah. Pada π 5,0 < , grafik miring ke kiri (positive skew), pada π 5,0 = grafik simetris, pada 5,0 > π grafik miring ke kanan (negative skew).
2. Bila π tetap, namun n meningkat, maka bentuk distribusi binomial semakin simetris.
3. Mean (μ) untuk distribusi binomial: μ = n . π
Variansi 〖(σ〗^2) untuk distribusi binomial :σ^(2 )=n .π (1-π)
3. Distribusi Probabilitas Hipergeometris
Syarat digunakannya distribusi hipergeometris :
a. Sampel diambil dari suatu populasi terbatas tanpa pengembalian
b. Jumlah sampel n lebih besar dari 5% dari jumlah seluruh populasi N Populasi terbatas (finite population) : suatu populasi yang terdiri dari sejumlah kecil individu, objek, atau pengukuran.
Distribusi Hipergeometri :P(x)= ((sCx)(n-sCn-x))/ΝCn
N = jumlah seluruh populasi
S = jumlah sukses dalam populasi
x = jumlah sukses yang diinginkan ( 0,1,2,3,……)
n = jumlah sampel atau jumlah percobaan / trial
C = Simbol untuk kombinasi
4. Distribusi Probabilitas Poisson
Distribusi ini sering disebut “Hukum kejadian yang tidak mungkin”, maksudnya distribusi ini dipakai pada kejadian dengan probabilitas π yang sangat kecil ( ≤ 0,05 ).
Distribusi ini memiliki banyak aplikasi diantaranya : menentukan distribusi kesalahan pada input data, cacat yang terjadi pada proses pengecatan sparepart mobil, jumlah kecelakaan yang terjadi pada Boeing 737 selama 3 bulan terakhir.
DistrbusiPoisson:
P(x)=(u^x.e^(-n))/x!
μ = rata-rata aritmatik dari sukses pada suatu interval waktu
e = konstanta (2,71828)
x = jumlah sukses
P(x) = probabilitas dari suatu x
B. DISTRIBUSI NORMAL
Definisi Umum
Untuk mempelajari distribusi probabilitas kontinu, kita menggunakan "distribusi probabilitas Normal". Variabel acak kontinu diperoleh dengan cara mengukur sesuatu, seperti : berat badan, tinggi badan, usia pakai baterai dll.
a)Karakteristik Kurva Dstribusi Normal
1. Kurva normal berbentuk lonceng, memiliki puncak pada tengah distribusi. Rata-rata aritmatik, median, dan mode dari distribusi bernilai sama dan terletak pada puncak.
2. Distribusi probabilitas normal simetris terhadap rata-ratanya.
3. Kurva normal menurun secara perlahan kedua sisinya, namun kurva tidak akan pernah menyentuh sumbu x .
Standar deviasi (σ )menentukan kelandaian kurva : Semakin besar σ , maka kurva akan landai & melebar. Semakin kecil σ , maka kurva akan lancip & menyempit.
b) Distribusi Probabilitas Normal Standar
Untuk menyeragamkan sekian banyak distribusi normal dengan μ dan σ yang berbeda, kita dapat menggunakan Kurva Normal Standar.
Kurva standar ini memiliki μ = 0 dan σ = 1. Kurva normal seluruhnya dapat dikonversi ke kurva standar, dengan cara x menghitung “z value“(nilai z ). “z value“ ialah jarak antara suatu nilai terhadap rata-rata μ , dibagi dengan standar deviasi σ .
Rumus :(x- μ)/σ
x = nilai observasi tertentu
μ = rata-rata distribusi
σ = standar deviasi
c) Daerah di Bawah Kurva Normal Standar
Terdapat 3 daerah di bawah kurva normal :
1. 68% bagian bawah kurva normal terletak antara σ − σ + dan atau daerah 1 μ σ ±
2. 95% bagian bawah kurva normal terletak antara 2σ − 2σ + dan atau daerah 2 μ σ±
3. 99% bagian bawah kurva normal terletak antara 3σ − 3σ + dan , atau daerah 3 μ σ ±
Contoh :
1. Suatu tes daya tahan terhadap sejumlah besar baterai alkaline menunjukan bahwa rata-rata daya tahan baterai adalah 19,0 jam. Distribusi menggunakan distribusi normal, standar deviasi dari distribusi tersebut adalah 1,2 jam.
a. Diantara nilai manakah bila 68% baterai habis ?
b. Diantara nilai manakah bila 95% balerai habis ?
c. Diantara nilai manakah bila 100% baterai habis ?
Jawaban :
a. 68% baterai habis bila baterai dipakai pada 1 μ σ ± , yaitu : 19,0 ± 1,2 = 17,8 jam 20,2 jam.
b. 95% baterai akan habis bila baterai dipakai pada 2 μ σ ± yaitu ; 19,0 ± 2(1,2) = 16,6 – 21,4 jam.
c. 100% baterai akan habis bila baterai dipakai pada yaitu : 19,0 ± 3(1,2) = 15,4 – 22,6 jam. 3 μ σ ±
PENUTUP
Demikianlah sedikit uraian tentang “Distribusi Probabilitas Diskrit dan Distribusi Normal”.Semoga makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi saya sendiri dan umumnya bagi pembaca semuanya.Amin ya robbal ‘alamin.
Sekian,terima kasih.
Tag :
Kuliah,
Matematika Diskrit
1 Komentar untuk "DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT DAN DISTRIBUSI NORMAL"
mantap materinya
My blog